• Τι είναι ένα σύστημα αριθμών;
• Συστήματα αριθμών χωρίς θέση
• Συστήματα ημιθέσιων αριθμών
• Συστήματα θέσεων αριθμών

Εξηγούμε τι είναι σύστημα αρίθμησης και μελετάμε τα χαρακτηριστικά κάθε τύπου συστήματος, μέσα από παραδείγματα από διαφορετικούς πολιτισμούς.

Κάθε σύστημα αριθμών περιέχει ένα ορισμένο και πεπερασμένο σύνολο συμβόλων.

Τι είναι ένα σύστημα αριθμών;

Ένα αριθμητικό σύστημα είναι ένα σύνολο συμβόλων και κανόνων με τα οποία μπορεί να εκφραστεί ο αριθμός των αντικειμένων σε έναν αριθμό. σειρά, δηλαδή μέσω του οποίου μπορούν να αναπαρασταθούν όλοι οι έγκυροι αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σύστημα αριθμών περιέχει ένα δεδομένο και πεπερασμένο σύνολο συμβόλων, συν ένα δεδομένο και πεπερασμένο σύνολο κανόνων με το οποίο μπορούν να συνδυαστούν.

Τα συστήματα αρίθμησης ήταν μια από τις κύριες ανθρώπινες εφευρέσεις στην αρχαιότητα και καθένας από τους αρχαίους πολιτισμούς είχε το δικό του σύστημα, που σχετίζεται με τον τρόπο που βλέπει τον κόσμο, δηλαδή με τον πολιτισμό του.

Σε γενικές γραμμές, τα συστήματα αρίθμησης μπορούν να ταξινομηθούν σε τρεις διαφορετικούς τύπους:

• συστήματα μη θέσης. Είναι εκείνα στα οποία κάθε σύμβολο αντιστοιχεί σε μια σταθερή τιμή, ανεξάρτητα από τη θέση που καταλαμβάνει μέσα στον αριθμό (αν εμφανίζεται πρώτο, στη μία πλευρά ή μετά).
• Συστήματα ημι-θέσης. Είναι εκείνα στα οποία η τιμή ενός συμβόλου τείνει να είναι σταθερή, αλλά μπορεί να τροποποιηθεί σε συγκεκριμένες καταστάσεις εμφάνισης (αν και τείνουν να είναι μάλλον εξαιρέσεις). Εννοείται ως ένα ενδιάμεσο σύστημα μεταξύ του θέσιου και του μη θέσιου.
• Συστήματα θέσης ή σταθμισμένα.Είναι εκείνα στα οποία η αξία ενός συμβόλου καθορίζεται τόσο από τη δική του έκφραση όσο και από τη θέση που καταλαμβάνει μέσα στον αριθμό, καθώς μπορεί να αξίζει περισσότερο ή λιγότερο ή να εκφράζει διαφορετικές τιμές ανάλογα με το πού βρίσκεται.

Είναι επίσης δυνατό να ταξινομηθούν τα συστήματα αρίθμησης με βάση τον αριθμό που χρησιμοποιούν ως βάση για τους υπολογισμούς τους. Έτσι, για παράδειγμα, το σημερινό δυτικό σύστημα είναι δεκαδικό (καθώς η βάση του είναι 10), ενώ το σύστημα αρίθμησης των Σουμερίων ήταν σεξουαλικό (η βάση του ήταν 60).

Συστήματα αριθμών χωρίς θέση

Τα συστήματα χωρίς θέση ήταν εύκολο να μαθευτούν αλλά απαιτούσαν πολλά σύμβολα.

Τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση ήταν τα πρώτα που υπήρξαν και είχαν τις πιο πρωτόγονες βάσεις: δάχτυλα, κόμπους σε ένα σχοινί ή άλλες μεθόδους καταγραφής για τον συντονισμό συνόλων αριθμών. Για παράδειγμα, αν μετράτε στα δάχτυλα του ενός χεριού, τότε μπορείτε να μετράτε σε ολόκληρα χέρια.

Σε αυτά τα συστήματα, τα ψηφία έχουν τη δική τους αξία, ανεξάρτητα από τη θέση τους στην αλυσίδα των συμβόλων, και για να σχηματιστούν νέα σύμβολα πρέπει να προστεθούν οι τιμές των συμβόλων (για το λόγο αυτό είναι γνωστά και ως συστήματα πρόσθετων). Αυτά τα συστήματα ήταν απλά, εύκολα στην εκμάθηση, αλλά απαιτούσαν πολλά σύμβολα για να εκφράσουν μεγάλες ποσότητες, επομένως δεν ήταν απολύτως αποτελεσματικά.

Παραδείγματα αυτών των τύπων συστημάτων είναι:

• Το αιγυπτιακό αριθμητικό σύστημα. Εμφανίστηκε γύρω στην τρίτη χιλιετία π.Χ. Γ., βασίστηκε στο δέκα και χρησιμοποιήθηκε ιερογλυφικά διαφορετικό για κάθε σειρά μονάδων: μία για τη μονάδα, μία για τη δέκα, μία για την εκατό και ούτω καθεξής μέχρι το εκατομμύριο.
• Το σύστημα αριθμών των Αζτέκων. Χαρακτηριστικό της αυτοκρατορίας του Μεξικού, είχε 20 ως βάση και χρησιμοποιούσε συγκεκριμένα αντικείμενα ως σύμβολα: μια σημαία ισοδυναμούσε με 20 μονάδες, ένα φτερό ή μερικές τρίχες ισοδυναμούσε με 400, μια τσάντα ή σάκος ισοδυναμούσε με 8.000, μεταξύ άλλων.
• Το ελληνικό αριθμητικό σύστημα.Συγκεκριμένα το Ιόνιο, επινοήθηκε και διαδόθηκε στην ανατολική Μεσόγειο από τον τέταρτο αιώνα π.Χ. Γ., αντικαθιστώντας το προϋπάρχον ακροφωνικό σύστημα. Ήταν ένα αλφαβητικό σύστημα, το οποίο χρησιμοποιούσε γράμματα για να σημαίνει αριθμούς, ταίριαζε το γράμμα με την κύρια θέση του στο αλφάβητο (Α=1, Β=2). Έτσι, σε κάθε αριθμό από το 1 έως το 9 δόθηκε ένα γράμμα, σε κάθε δέκα άλλο συγκεκριμένο γράμμα, σε κάθε εκατό άλλο, μέχρι που χρησιμοποιήθηκαν 27 γράμματα: το 24 του ελληνικού αλφαβήτου και τρεις ειδικοί χαρακτήρες.

Συστήματα ημιθέσιων αριθμών

Τα συστήματα ημιθέσης ανταποκρίθηκαν στις ανάγκες μιας πιο ανεπτυγμένης οικονομίας.

Τα συστήματα ημιθέσιων αριθμών συνδυάζουν την έννοια της σταθερής τιμής κάθε συμβόλου με ορισμένους κανόνες τοποθέτησης, έτσι ώστε να μπορούν να γίνουν κατανοητά ως ένα υβριδικό ή μικτό σύστημα μεταξύ θέσεων και μη. Απολαμβάνουν δυνατότητες αναπαράστασης μεγάλων αριθμών, διαχείρισης της σειράς των αριθμών και επίσημων διαδικασιών όπως ο πολλαπλασιασμός, επομένως αντιπροσωπεύουν ένα βήμα προς τα εμπρός στην πολυπλοκότητα σε σύγκριση με τα συστήματα μη θέσης.

Σε μεγάλο βαθμό, η εμφάνιση συστημάτων ημι-θέσης μπορεί να γίνει κατανοητή ως η μετάβαση προς ένα πιο αποτελεσματικό μοντέλο αρίθμησης που θα μπορούσε να ικανοποιήσει τις πιο σύνθετες ανάγκες μιας πιο ανεπτυγμένης οικονομίας, όπως αυτή των μεγάλων αυτοκρατοριών της κλασικής αρχαιότητας.

Παραδείγματα αυτού του μοντέλου αρίθμησης είναι:

• Το ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα. Δημιουργήθηκε στη ρωμαϊκή αρχαιότητα και σώζεται μέχρι σήμερα. Σε αυτό το σύστημα οι φιγούρες κατασκευάστηκαν χρησιμοποιώντας ορισμένα κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, κ.λπ.), η τιμή των οποίων καθορίστηκε και λειτουργούσε με βάση πρόσθεση και αφαίρεση, ανάλογα με όπου εμφανίζεται το σύμβολο.Εάν το σύμβολο ήταν στα αριστερά ενός συμβόλου ίσης ή μικρότερης αξίας (όπως στο II = 2 ή XI = 11), θα πρέπει να προστεθούν οι συνολικές τιμές. ενώ αν το σύμβολο ήταν στα αριστερά ενός συμβόλου υψηλότερης τιμής (όπως στο IX = 9, ή IV = 4), έπρεπε να αφαιρεθούν.
• Το κλασικό κινεζικό σύστημα αριθμών. Οι απαρχές του χρονολογούνται περίπου στο 1500 π.Χ. Γ. και είναι ένα πολύ αυστηρό σύστημα κάθετης αναπαράστασης αριθμών μέσω των δικών τους συμβόλων, που συνδυάζει δύο διαφορετικά συστήματα: ένα για την καθομιλουμένη και την καθημερινή γραφή και ένα άλλο για τα εμπορικά ή οικονομικά αρχεία. Ήταν ένα δεκαδικό σύστημα που είχε εννέα διαφορετικά σημάδια που μπορούσαν να τοποθετηθούν το ένα δίπλα στο άλλο για να προσθέσουν τις τιμές τους, μερικές φορές εισάγοντας ένα ειδικό σημάδι ή εναλλάσσοντας τη θέση των πινακίδων για να υποδείξουν μια συγκεκριμένη λειτουργία.

Συστήματα θέσεων αριθμών

Το τρέχον σύστημα αρίθμησης προέρχεται από το ινδουο-αραβικό σύστημα.

Τα συστήματα αριθμών θέσης είναι τα πιο πολύπλοκα και αποτελεσματικά από τα τρία είδη αριθμών που υπάρχουν. Ο συνδυασμός της σωστής αξίας των συμβόλων και της τιμής που αποδίδεται από τη θέση τους τους επιτρέπει να δημιουργούν πολύ υψηλούς αριθμούς με πολύ λίγους χαρακτήρες, προσθέτοντας ή/και πολλαπλασιάζοντας την αξία του καθενός, γεγονός που τα καθιστά πιο ευέλικτα και σύγχρονα συστήματα.

Γενικά, τα συστήματα θέσης χρησιμοποιούν ένα σταθερό σύνολο συμβόλων και μέσω του συνδυασμού τους παράγονται οι υπόλοιπες πιθανές φιγούρες, επ' άπειρον, χωρίς να χρειάζεται να δημιουργηθούν νέα σημάδια, αλλά μάλλον εγκαινιάζοντας νέες στήλες συμβόλων. Φυσικά, αυτό σημαίνει ότι ένα σφάλμα στη συμβολοσειρά αλλάζει επίσης τη συνολική τιμή του αριθμού.

Τα πρώτα παραδείγματα συστημάτων αυτού του τύπου προέκυψαν μέσα στις μεγάλες αυτοκρατορίες ή στους πιο απαιτητικούς αρχαίους πολιτισμούς σε πολιτιστικά και εμπορικά θέματα, όπως η Βαβυλωνιακή Αυτοκρατορία της δεύτερης χιλιετίας π.Χ. Γ. Παραδείγματα αυτού του τύπου συστήματος αρίθμησης είναι:

• Το σύγχρονο δεκαδικό σύστημα.Με μόνο τα ψηφία από το 0 έως το 9, σας επιτρέπει να δημιουργήσετε οποιονδήποτε δυνατό αριθμό, προσθέτοντας στήλες των οποίων η τιμή προστίθεται καθώς μετακινείστε προς τα δεξιά, έχοντας ως βάση το δέκα. Έτσι, προσθέτοντας σύμβολα στο 1 μπορούμε να δημιουργήσουμε 10, 195, 1958 ή 19589. Είναι σημαντικό να διευκρινιστεί ότι τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται προέρχονται από ινδουο-αραβικούς αριθμούς.
• Το ινδουο-αραβικό σύστημα αριθμών. Εφευρέθηκε από τους αρχαίους σοφούς της Ινδίας και αργότερα κληρονόμησε από τους Μουσουλμάνους Άραβες, έφτασε στη Δύση μέσω της Al-Andalus και κατέληξε να αντικαταστήσει το λατινικούς αριθμούς παραδοσιακός. Σε αυτό το σύστημα, παρόμοιο με το σύγχρονο δεκαδικό, οι μονάδες από το 0 έως το 9 αντιπροσωπεύονται με συγκεκριμένα γλυφά, τα οποία αντιπροσώπευαν την τιμή του καθενός μέσω γραμμών και γωνιών. Το σύστημα λειτουργίας αυτού του συστήματος είναι βασικά το ίδιο με το σύγχρονο δυτικό δεκαδικό σύστημα.
• Το σύστημα αριθμών των Μάγια. Δημιουργήθηκε για να μετρήσει το χρόνο, αντί για να κάνει μαθηματικές συναλλαγές, και η βάση του ήταν ειρηνική και τα σύμβολά του αντιστοιχούν στο ημερολόγιο αυτού του προκολομβιανού πολιτισμού. Οι φιγούρες, ομαδοποιημένες 20 επί 20, αντιπροσωπεύονται με βασικά σημάδια (ρίγες, τελείες και σαλιγκάρια ή κοχύλια). και για να προχωρήσετε στην επόμενη βαθμολογία, προστίθεται ένας βαθμός στο επόμενο επίπεδο γραφής. Επιπλέον, το Μάγια ήταν από τους πρώτους που χρησιμοποίησαν τον αριθμό μηδέν.