Εξηγούμε τι είναι ένα θεώρημα, τη συνάρτησή του και ποια είναι τα μέρη του. Επιπλέον, τα θεωρήματα του Πυθαγόρα, του Θαλή, του Bayes κ.α.
Τι είναι ένα θεώρημα;
Ένα θεώρημα είναι α πρόταση ότι, με βάση ορισμένες υποθέσεις ή υπόθεση, μπορεί δοκιμαστικά να υποστηρίξει μια μη αυτονόητη θέση (γιατί σε αυτή την περίπτωση θα ήταν αξίωμα). Είναι πολύ κοινά μέσα επίσημες γλώσσες, σαν το μαθηματικά κύμα λογική, αφού αποτελούν την εκφώνηση ορισμένων τυπικών κανόνων ή κανόνων «παιχνιδιού».
Τα θεωρήματα δεν προτείνουν μόνο σταθερές σχέσεις μεταξύ των κτίριο και το συμπέρασμα, αλλά και να παρέχετε τα θεμελιώδη κλειδιά για να το αποδείξετε. Η απόδειξη των θεωρημάτων είναι, στην πραγματικότητα, βασικό μέρος της μαθηματικής λογικής, αφού άλλα μπορούν να προκύψουν από ένα θεώρημα και να διευρύνουν έτσι τη γνώση του τυπικού συστήματος.
Ωστόσο, στον τομέα των μαθηματικών σπουδών, ο όρος «θεώρημα» χρησιμοποιείται μόνο για προτάσεις που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την ακαδημαϊκή κοινότητα. Αντίθετα, στη λογική πρώτης τάξης, κάθε αποδείξιμη δήλωση είναι η ίδια θεώρημα.
Η λέξη «θεώρημα» προέρχεται από την ελληνική θεώρημα, που προέρχεται από το ρήμα θεωρία, που σημαίνει «στοχάζομαι», «κρίνω» ή «αντανακλώ», από το οποίο προέρχεται και η λέξη «θεωρία».
Για τους αρχαίους Έλληνες, ένα θεώρημα ήταν το αποτέλεσμα προσεκτικής και προσεκτικής παρατήρησης και προβληματισμού, και ήταν ένας όρος που χρησιμοποιούνταν πολύ συχνά από πολλούς φιλοσόφους και μαθηματικούς της εποχής.Από εκεί προέρχεται και η ακαδημαϊκή διάκριση μεταξύ των όρων «θεώρημα» και «πρόβλημα»: ο πρώτος είναι θεωρητικός και ο δεύτερος πρακτικός.
Κάθε θεώρημα έχει τρία μέρη:
- Υπόθεση είτε κτίριο. Είναι το λογικό περιεχόμενο από το οποίο μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα και, επομένως, προηγείται.
- Διατριβή ή συμπέρασμα. Είναι αυτό που δηλώνεται στο θεώρημα και αυτό μπορεί να αποδειχθεί επίσημα από αυτό που προτείνεται από τις προϋποθέσεις.
- Συμπεράσματα. Είναι εκείνες οι αφαιρέσεις ή οι δευτερεύουσες και πρόσθετες διατυπώσεις που προκύπτουν από το θεώρημα.
Θεώρημα Πυθαγόρα
Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα από τα παλαιότερα μαθηματικά θεωρήματα που είναι γνωστά στην ανθρωπότητα. Αποδίδεται στον Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα της Σάμου (περ. 569 – περ. 475 π.Χ.), αν και πιστεύεται ότι το θεώρημα είναι πολύ παλαιότερο, πιθανώς βαβυλωνιακής προέλευσης, και ότι ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που το απέδειξε.
Αυτό το θεώρημα προτείνει ότι, δεδομένου του α τρίγωνο ορθογώνιο (δηλαδή, έχοντας τουλάχιστον μία ορθή γωνία), το τετράγωνο του μήκους της πλευράς του τριγώνου απέναντι από τη σωστή γωνία (η υποτείνουσα) θα είναι πάντα ίσο με το άθροισμα του τετραγώνου του μήκους των άλλων δύο πλευρών (ονομάζονται πόδια). Αυτό αναφέρεται ως εξής:
Σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας θα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών.
Και με τον ακόλουθο τύπο:
ένα2 + σι2 = ντο2
Οπου ένα Υ σι ίσο με το μήκος των ποδιών και ντο στο μήκος της υποτείνουσας. Από εκεί μπορούν επίσης να συναχθούν τρία συμπεράσματα, δηλαδή προκύπτοντες τύποι που έχουν πρακτική εφαρμογή και αλγεβρική επαλήθευση:
ένα = √ντο2 – β2
σι = √c2 – a2
c = √a2 + b2
Το Πυθαγόρειο θεώρημα έχει αποδειχθεί πολλές φορές σε όλη την ιστορία: από τον ίδιο τον Πυθαγόρα και από άλλους γεωμέτρους και μαθηματικούς όπως ο Ευκλείδης, ο Πάππος, ο Μπασκάρα, ο Λεονάρντο ντα Βίντσι, ο Γκάρφιλντ, μεταξύ άλλων.
Θεώρημα Θαλή
Αποδίδεται στον Έλληνα μαθηματικό Θαλή της Μιλήτου (περ. 624 – περ. 546 π.Χ.), αυτό το διμερές θεώρημα (ή αυτά τα δύο θεωρήματα με το ίδιο όνομα) ασχολείται με την γεωμετρία των τριγώνων, ως εξής:
- Το πρώτο θεώρημα του Θαλή προτείνει ότι εάν μια από τις πλευρές ενός τριγώνου συνεχίζεται πέρα από μια παράλληλη ευθεία, θα προκύψει ένα μεγαλύτερο τρίγωνο αλλά με τις ίδιες αναλογίες. Αυτό μπορεί να εκφραστεί ως εξής:
Λαμβάνοντας υπόψη δύο αναλογικά τρίγωνα, ένα μεγάλο και ένα μικρό, ο λόγος δύο από τις πλευρές του μεγάλου τριγώνου (Α και Β) θα είναι πάντα ίσος με τον λόγο των ίδιων πλευρών του μικρού (Γ και Δ).
A/B = C/D
Αυτό το θεώρημα χρησίμευσε, σύμφωνα με τον Έλληνα ιστορικό Ηρόδοτο, στον Θαλή για να μετρήσει το μέγεθος της πυραμίδας του Χέοπα στην Αίγυπτο, χωρίς να χρειάζεται να χρησιμοποιήσει όργανα τεράστιου μεγέθους.
- Το δεύτερο θεώρημα του Θαλή προτείνει ότι με δεδομένη μια περιφέρεια της οποίας η διάμετρος είναι AC και το κέντρο "O" (διαφορετικό από το A και C), μπορεί να σχηματιστεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC έτσι ώστε
Από αυτό προκύπτουν δύο συμπεράσματα:
- Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το μήκος της μέσης που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι πάντα το μισό της υποτείνουσας.
- Η περιγεγραμμένη περιφέρεια οποιουδήποτε ορθογωνίου τριγώνου έχει πάντα ακτίνα ίση με το μισό της υποτείνουσας και το περίκεντρό του θα βρίσκεται στο μέσο της υποτείνουσας.
Θεώρημα Bayes
Το θεώρημα του Bayes προτάθηκε από τον Άγγλο μαθηματικό Thomas Bayes (1702-1761) και δημοσιεύτηκε μετά το θάνατό του το 1763. Αυτό το θεώρημα εκφράζει την πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός "A δεδομένου B" και τη σχέση του με την πιθανότητα ενός γεγονότος "B δεδομένου A". ". Αυτό το θεώρημα είναι πολύ σημαντικό στη θεωρία του πιθανότητα, και διατυπώνεται ως εξής:
Αυτό σημαίνει ότι είναι δυνατός ο υπολογισμός της πιθανότητας ενός γεγονότος (Α) εάν γνωρίζουμε ότι πληροί μια ορισμένη απαραίτητη προϋπόθεση για την εμφάνισή του, αντίστροφα από το θεώρημα της συνολικής πιθανότητας.
Άλλα γνωστά θεωρήματα
Άλλα διάσημα θεωρήματα είναι:
- Το θεώρημα του Πτολεμαίου. Ισχύει ότι σε κάθε κυκλικό τετράπλευρο, το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών είναι ίσο με το γινόμενο των διαγωνίων τους.
- Το θεώρημα Euler-Fermat. Υποστηρίζει ότι ναι ένα Υ n είναι ακέραιοι αριθμοί συγγενικά ξαδέρφια λοιπόν n χωρίζει σε aᵩ(n)-1.
- Θεώρημα Lagrange. Υποστηρίζει ότι ναι φά είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [a, b] και διαφοροποιήσιμη στο ανοιχτό διάστημα (a, b), τότε υπάρχει ένα σημείο ντο στο (α, β) έτσι ώστε μια εφαπτομένη σε αυτό το σημείο να είναι παράλληλη προς την τέμνουσα ευθεία διαμέσου των σημείων (α, φά(α)) και (σι, φά(σι)).
- Θεώρημα Θωμά. Υποστηρίζει ότι αν οι άνθρωποι καθιερώσουν μια κατάσταση ως πραγματική, αυτή η κατάσταση γίνεται πραγματική στις συνέπειές της.