Εξηγούμε τι είναι η γεωμετρία, την ιστορία της και το αντικείμενο μελέτης της. Επιπλέον, τα χαρακτηριστικά κάθε τύπου γεωμετρίας.
Τι είναι η γεωμετρία;
Γεωμετρία (από τα ελληνικά geo, "Γη", και μετρητής, «Μέτρηση») είναι ένας από τους παλαιότερους κλάδους του μαθηματικά, αφιερωμένο στη μελέτη του σχήματος μεμονωμένων αντικειμένων, της χωρικής σχέσης μεταξύ τους και των ιδιοτήτων του χώρου που τα περιβάλλει.
Αν και στις απαρχές της αυτή η πειθαρχία υπάκουε, όπως υποδηλώνει το όνομά της, το μέτρηση με την πιο πρακτική του έννοια, με την πάροδο του χρόνου το ανθρωπότητα κατάλαβε ότι ακόμη και οι πιο περίπλοκες αφαιρέσεις και αναπαραστάσεις μπορούν να εκφραστούν με γεωμετρικούς όρους.
Έτσι προέκυψαν οι πολυάριθμοι κλάδοι του, από το χέρι της μαθηματικής ανάλυσης και άλλων μορφών υπολογισμού, ειδικά εκείνων που συνδέουν τη γεωμετρική αναπαράσταση με αριθμητικές και αλγεβρικές μαθηματικές εκφράσεις.
Η γεωμετρία είναι ένας θεμελιώδης κλάδος των μαθηματικών, στον οποίο βασίζονται πολλοί κλάδοι (όπως ο τεχνικό σχέδιο ή δική αρχιτεκτονική) και χρησιμεύει ως συμπλήρωμα πολλών άλλων (όπως π.χ φυσικός, η μηχανική, η αστρονομία, και τα λοιπά.). Επιπλέον, έχει δημιουργήσει πολλά τεχνουργήματα, από την πυξίδα και τον παντογράφο, μέχρι το παγκόσμιο σύστημα εντοπισμού θέσης (GPS).
Ιστορία της γεωμετρίας
Η γεωμετρία έχει τις ρίζες της πρακτικά στους πρώτους ανθρώπινους πολιτισμούς. Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι ήταν οι εφευρέτες του τροχού και επομένως της γεωμετρίας των κύκλων. Για το λόγο αυτό, ήταν πιθανώς οι πρώτοι που αναγνώρισαν τις άπειρες δυνατότητες της γεωμετρικής μελέτης, τις οποίες σύντομα εφάρμοσαν στην αστρονομία.
Το ίδιο έκαναν και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, οι οποίοι το καλλιέργησαν αρκετά για να το εφαρμόσουν στα μεγαλειώδη αρχιτεκτονικά τους έργα, αφού εκείνη την εποχή ήταν η γεωμετρία και η αριθμητική Επιστήμες κατεξοχήν πρακτικό.
Πολλοί Έλληνες ιστορικοί, όπως ο Ηρόδοτος (περ. 484-περ. 425 π.Χ.), ο Διόδωρος (περ. 90 π.Χ. - περ. 30 π.Χ.) και ο Στράβων (περ. 63 π.Χ. - περ. 24 μ.Χ.) αναγνώρισαν τη σημασία της αιγυπτιακής γεωμετρικής κληρονομιάς. , και θεωρήθηκαν οι δημιουργοί της πειθαρχίας. Ωστόσο, οι αρχαίοι Έλληνες ήταν αυτοί που έδωσαν στη γεωμετρία την τυπική της όψη, χάρη στο προηγμένο φιλοσοφικό τους μοντέλο.
Ιδιαίτερη σημασία είχε ο μαθηματικός και γεωμέτρης Ευκλείδης (περίπου 325 - περ. 265 π.Χ.), αναγνωρισμένος ως ο «πατέρας της γεωμετρίας», ο οποίος πρότεινε το πρώτο γεωμετρικό σύστημα ελέγχου των αποτελεσμάτων, μέσα από το περίφημο έργο του. Τα στοιχεία, που συντέθηκε γύρω στο έτος 300 π.Χ. Γ. στην Αλεξάνδρεια. Εκεί διατυπώνονται για πρώτη φορά οι διαφορές μεταξύ του αεροπλάνου (δισδιάστατη) και το χώρος (τρισδιάστατη).
Άλλες σημαντικές συνεισφορές στη γεωμετρία της εποχής ήταν αυτές του Αρχιμήδη (περ. 287 - περ. 212 π.Χ.) και του Απολλώνιου της Πέργης (περ. 262 - περ. 190 π.Χ.). Ωστόσο, στους επόμενους αιώνες η ανάπτυξη των μαθηματικών μετακινήθηκε προς την Ανατολή (την Ινδία, συγκεκριμένα, και τον μουσουλμανικό κόσμο), όπου η γεωμετρία αναπτύχθηκε μαζί με άλγεβρα και το τριγωνομετρία, συνδέοντάς τα με το αστρολογία και την αστρονομία.
Έτσι, το ενδιαφέρον για την πειθαρχία επέστρεψε στη Δύση μόνο στο αναγέννηση ευρωπαϊκό, στο οποίο προστέθηκαν πολλά νέα ονόματα στη μελέτη του, δίνοντας έτσι αφορμή για την προβολική γεωμετρία και ιδιαίτερα την καρτεσιανή γεωμετρία ή αναλυτική γεωμετρία, καρπός του έργου του Γάλλου φιλοσόφου René Descartes (1596-1650), του φορέα μιας νέας γεωμετρικής ερευνητικής μεθόδου που έφερε επανάσταση και εκσυγχρόνισε αυτό το πεδίο της γνώσης.
Έκτοτε, η σύγχρονη γεωμετρία έλαβε χώρα, από τα χέρια μεγάλων μελετητών όπως ο Γερμανός Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ο Ρώσος Nikolái Lobachevski (1792-1856), ο Ούγγρος János Bolyai (1802-1860), μεταξύ πολλών. άλλοι, που κατάφεραν να απομακρυνθούν από τα κλασικά αξιώματα του Ευκλείδη και βρήκαν ένα νέο πεδίο πειθαρχίας: τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία.
Αντικείμενο μελέτης γεωμετρίας
Η γεωμετρία λειτουργεί τόσο στη δισδιάστατη όσο και στην τρισδιάστατη.Η γεωμετρία ασχολείται με τις ιδιότητες του χώρου και ειδικότερα με τα σχήματα και φιγούρες που το κατοικούν, είτε δισδιάστατο (επίπεδο) είτε τρισδιάστατο (χώρος), όπως σημεία, γραμμές, επίπεδα, πολύγωνα, πολύεδρα, και ούτω καθεξής. Αυτού του είδους τα αντικείμενα κατανοούνται με όρους εξιδανίκευσης, δηλαδή νοητικών προβολών του χώρου, προκειμένου να μεταφέρουν (ή όχι) τα συμπεράσματά τους στον κόσμο του συγκεκριμένου.
Τύποι γεωμετρίας
Η γεωμετρία έχει πολλούς διαφορετικούς κλάδους και η ταξινόμησή της ανταποκρίνεται γενικά στη σχέση που δημιουργεί με τα πέντε βασικά αξιώματα του Ευκλείδη, από τα οποία μόνο τέσσερις έχουν αποδειχθεί ευρέως από την αρχαιότητα. Το πέμπτο, από την άλλη πλευρά, έπρεπε να τροποποιηθεί για να δημιουργήσει διαφορετικές οικογένειες γεωμετριών.
Επομένως, πρέπει να κάνουμε διάκριση μεταξύ:
Απόλυτη γεωμετρία, που διέπεται από τα τέσσερα πρώτα αξιώματα του Ευκλείδη.
Ευκλείδεια γεωμετρία, ένα που δέχεται επίσης το πέμπτο Ευκλείδειο αξίωμα, δίνοντας με τη σειρά του δύο παραλλαγές: τη γεωμετρία του επιπέδου (δισδιάστατη) και τη γεωμετρία του χώρου (τρισδιάστατη), σύμφωνα με την αρχαία ελληνική ταξινόμηση .
Κλασική γεωμετρία, μια στην οποία συγκεντρώνονται τα αποτελέσματα των ευκλείδειων γεωμετριών.
Η μη Ευκλείδεια γεωμετρία, που εμφανίστηκε τον 19ο αιώνα, είναι αυτή που συγκεντρώνει τα διαφορετικά γεωμετρικά συστήματα που απέχουν πολύ από το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη, αποδεχόμενο, ωστόσο, τα πρώτα τέσσερα ή μερικά από αυτά. Μεταξύ αυτών είναι:
- Ελλειπτική ή Ριμαννιακή γεωμετρία, η οποία υπακούει στα τέσσερα πρώτα αξιώματα του Ευκλείδη και παρουσιάζει ένα μοντέλο σταθερής και θετικής καμπυλότητας.
- Υπερβολική ή λομπατσέφσκικη γεωμετρία, η οποία υπακούει μόνο στα τέσσερα πρώτα αξιώματα του Ευκλείδη και παρουσιάζει ένα μοντέλο σταθερής και αρνητικής καμπυλότητας.
- Η σφαιρική γεωμετρία, κατανοητή ως η γεωμετρία της δισδιάστατης επιφάνειας μιας σφαίρας (και όχι ενός ευθύγραμμου επιπέδου), είναι ένα απλούστερο μοντέλο ελλειπτικής γεωμετρίας.
- Πεπερασμένη γεωμετρία, της οποίας το σύστημα υπακούει σε περιορισμένο αριθμό σημείων (σε αντίθεση με την άπειρη γεωμετρία του Ευκλείδη) και της οποίας τα μοντέλα εφαρμόζονται μόνο σε ένα πεπερασμένο επίπεδο. Υπάρχουν δύο τύποι πεπερασμένων γεωμετριών: συγγενικές και προβολικές.